从自然数到有理数

看完本文后你至少会明白：

自然数是否包括0
有理数为什么可以用 $\dfrac {p} {q}$ 这种形式唯一表示
如何从自然数很自然地过渡到有理数
如何证明 $\sqrt {2}$ 不是有理数

简单地来讲，自然数就是0,1,2,3, ...这些用来“数个数”的数，我们可以很直观地接受它们的存在。0是否包含在自然数里只是一个约定上的分歧 ^[1] ，本文约定自然数包括0，后面我们会看到这种规定的优势。在自然数里进行“加”或“乘”运算产生的仍然是自然数，进行减法运算会出现“不够减”的情况，比如： $ $1-2=?$ $在自然数里这个式子没结果，为了解除这种限制，我们引入了负数，$ $-1, -2, -3, ...$ $ 自然数和负数统称为整数。正整数是1, 2, 3, 4, ...这些，它与自然数的区别在于是否包含0，这种区别正好可以让这两个概念各尽其用，要是规定自然数不包括0，那么这两个数的概念将会等同起来，最终就会不得不产生“自然数和0”、“正整数和0”、“非负整数”这些相对较为啰唆的表述，这就是规定自然数包括0的优势啦（此规定下“非负整数”就可以用“自然数”取而代之）。另外，把0包含在自然数集内对于集合论也是有着重要意义 ^[2] 。

在整数里进行除法有时候也会产生无解的情况，比如 $4\div 3$ 的结果就不是整数，为此我们引入有理数这个概念。有理数就是可以写成 $\dfrac {p} {q}$ 这种形式的数，这里 ${p}$ 和 ${q}$ 都是整数并且 ${q≠0}$ 。整数也可以写成 $\dfrac {p} {q}$ 这种形式，比如 $2=\dfrac {2} {1}=\dfrac {-4} {-2}$ ，所以整数也是有理数。但是每个有理数的 $\dfrac {p} {q}$ 表示形式并不是唯一的，比如 $\dfrac {2} {4}$ 、 $\dfrac {1} {2}$ 、 $\dfrac {-2} {-4}$ 这三个都表示同一个数，为了让有理数的 $\dfrac {p} {q}$ 表示形式唯一，我们可以规定 ${p}$ 是正整数，并且 ${p}$ 和 ${q}$ 没有比1大的公因子 ^[3] ，那么不能用 $\dfrac {p} {q}$ 这种形式唯一表示的就不是有理数了，我们可以据此来证明 $\sqrt {2}$ 不是有理数（后续我会讲到如何从有理数过渡到无理数，此处先提到 $\sqrt {2}$ 这个无理数并无大碍，毕竟各位之前都有所了解）。
我们首先假设 $\sqrt {2}$ 是有理数，那么 $\sqrt {2}$ 就可以用 $\dfrac {p} {q}$ 这种形式唯一表示，即$ $\sqrt {2}=\dfrac {p} {q}$ $，按规定$ p $和$ q $没有比1大的公因子，把等式($ {\frac{p}{q})}^{2} = 2 $稍作变换得到$ p^{2} = 2q^{2} $，那么$ p^{2} $就是偶数了，显然$ p $也必须是偶数，便有$ p = 2p_{0} $，$ p_{0} $是整数，把前面等式的$ p $换作$ 2p_{0} $就有$ 4p_{0}^{2} = 2q^{2} $，即$ 2p_{0}^{2} = q^{2} $，这说明$ q^{2} $是偶数，显然$ q $也必须是偶数，于是$ p $和$ q $有公因子2，这与前面“$ p $和$ q $没有比1大的公因子” 的规定矛盾，而造成这种矛盾的起因就是我们一开始假设$ \sqrt {2} $是有理数，这就证明了$ \sqrt {2}$不是有理数 ^[4] 。

References :

Terence Tao, Analysis I, third edition, P15 ↩︎
D.C. Goldrei, Classic Set Theory: For Guided Independent Study, P32 ↩︎
Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P2 ↩︎
Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P5 ↩︎